TEORI BAHASA DAN AUTOMATA 

 ZULFIKAR

1370231093

·         Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor).

·         Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama.

·         Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda.

·         Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya.

·         Bahasa Natural/manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.

Otomata (Automata)

·         Otomata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.

 

 

Beberapa Pengertian Dasar :

·         Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.

·         String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.

·         Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai ïwï dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka ïwï= 4.

·         String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol e (atau ^) sehingga ïeï= 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.

·         Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol

Operasi Dasar String

Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123

·         Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, a, dan e adalah semua Prefix(x)

·         ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : ab, a, dan e adalah semua ProperPrefix(x)

·         Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : abc, bc, c, dan e adalah semua Postfix(x)

·         ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc, c, dan e adalah semua ProperPostfix(x)

·         Head string w adalah simbol paling depan dari string w.

Contoh : a adalah Head(x)

·         Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc adalah Tail(x)

·         Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan e adalah semua Substring(x)

·         ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : ab, bc, a, b, c, dan e adalah semua Substring(x)

·         Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan e adalah semua Subsequence(x)

·         ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.

Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan e adalah semua Subsequence(x)

·         Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun.

Contoh : concate(xy) = xy = abc123

·         Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau ½.

Contoh : alternate(xy) = x½y = abc atau 123

·         Kleene Closure : x* = e½x½xx½xxx½… = e½x½x½x½…

·         Positive Closure : x = x½xx½xxx½… = x½x½x½…

Beberapa Sifat Operasi

·         Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)

·         Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)

·         Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) ¹ Postfix(x)

·         Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ¹ ProperPostfix(x)

·         Selalu berlaku : Head(x) ¹ Tail(x)

·         Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya

·         Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya

·         Dua sifat aljabar concatenation :

• Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
• Elemen identitas operasi concatenation adalah e : ex = xe = x

·         Tiga sifat aljabar alternation :

• Operasi alternation bersifat komutatif : x½y = y½x
• Operasi alternation bersifat asosiatif : x½(y½z) = (x½y)½z
• Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : x½x = x

·         Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (y½z) = xy½xz

·         Beberapa kesamaan :

• Kesamaan ke-1 : (x*)* = x*
• Kesamaan ke-2 : e½x = x½e = x*

• Kesamaan ke-3 : (x½y)* = e½x½y½xx½yy½xy½yx½… = semua string yang merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.

 

GRAMMAR DAN BAHASA

Konsep Dasar

·         Anggota alfabet dinamakan simbol terminal.

·         Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.

·         Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.

·         Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :

·         huruf kecil, misalnya : a, b, c, 0, 1, ..

·         simbol operator, misalnya : +, -, dan ´

·         simbol tanda baca, misalnya : (,  ),  dan ;

·         string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.

·         Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal /Variabel :

·         huruf besar, misalnya : A, B, C

·         huruf S sebagai simbol awal

·         string yang tercetak miring, misalnya : expr

·         Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : a, b, dan g.

·         Sebuah produksi dilambangkan sebagai a ® b, artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol a dengan simbol b.

·         Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan sebagai : a Þ b.

·         Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya.

·         Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Kalimat adalah merupakan sentensial, sebaliknya belum tentu..

Grammar :

Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : V, V, S, dan P, dan dituliskan sebagai G(V, V, S, P), dimana :

V           : himpunan  simbol-simbol  terminal  (alfabet) àkamus

V       : himpunan simbol-simbol non terminal

SÎV : simbol awal (atau simbol start)

P       : himpunan produksi

Contoh :

1.  G₁ :  V_T = {I,  Love, Miss, You}, V = {S,A,B,C},

                             P = {S ® ABC, A® I, B® Love | Miss, C® You}

S Þ ABC

  Þ IloveYou

L(G1)={IloveYou, IMissYou}

2. . G₂ :  V_T = {a}, V = {S}, P = {S ® aS½a}  

S Þ aS

  Þ aaS

  Þ aaa                    L(G₂) ={aⁿ ½ n ≥ 1}

            L(G2)={a, aa, aaa, aaaa,…}

Klasifikasi Chomsky

          Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (a ® b), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :

1.       Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG)

Ciri : a, b Î (V½V)*, ïaï> 0

2.                   Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG)

Ciri : a, b Î (V½V) *, 0 < ïaï £ ïbï

3.                   Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG)

Ciri : a Î V, b Î (V½V)*

4.                   Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG)

Ciri : a Î V, b Î {V, VV} atau a Î V, b Î {V, VV}

Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :

A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1) grammar.

Contoh Analisa Penentuan Type Grammar

1.       Grammar G dengan P = {S ® aB, B ® bB, B ® b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string VV maka G adalah RG(3).

2.                   Grammar G dengan P = {S ® Ba, B ® Bb, B ® b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string VV maka G adalah RG(3).

3.                   Grammar G dengan P = {S ® Ba, B ® bB, B ® b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string VV (yaitu bB) dan juga string VV (Ba) maka G bukan RG, dengan kata lain G adalah CFG(2).

4.       Grammar G dengan P = {S ® aAb, B ® aB}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G bukan RG, dengan kata lain G adalah CFG.

5.                   Grammar G dengan P = {S ® aA, S ® aB, aAb ® aBCb}.

Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G adalah CSG.

6.       Grammar G dengan P = {aS ® ab, SAc ® bc}.

Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G adalah UG.

Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa

Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut :

1.       G dengan P = {1. S ® aAa,  2. A ® aAa,  3. A ® b}.

Jawab :

Derivasi kalimat terpendek :               Derivasi kalimat umum :

S Þ aAa         (1)                                 S Þ aAa              (1)

  Þ aba (3)                                   Þ aaAaa          (2)

                                                                  ¼

                                                                Þ aAa     (2)

                                                                Þ aba                (3)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L(G) = { aba½ n ³ 1}

2.       G dengan

P = {1. S ® aS,  2. S ® aB,  3. B ® bC,  4. C ® aC,  5. C ® a}.

Jawab :

Derivasi kalimat terpendek :               Derivasi kalimat umum :

S Þ aB           (2)                                 S Þ aS                (1)

  Þ abC          (3)                                     ¼

  Þ aba           (5)                                   Þ aS                (1)     

                                                                Þ aB                 (2)

                                                                Þ abC               (3)

                                                                Þ abaC   (4)

                                                                  ¼

                                                                Þ abaC   (4)

                                                                Þ aba      (5)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L(G)={aba½n ³1, m³1}

3.                   G dengan

P = {1. S ® aSBC,  2. S ® abC,  3. bB ® bb,  

4. bC ® bc,  5. CB ® BC,  6. cC ® cc}.

Jawab :

Derivasi kalimat terpendek 1:            Derivasi kalimat terpendek 3 :

S Þ abC         (2)                                 S Þ aSBC                    (1)

  Þ abc           (4)                                   Þ aaSBCBC             (1)

Derivasi kalimat terpendek 2 :             Þ aaabCBCBC         (2)

S Þ aSBC      (1)                                   Þ aaabBCCBC         (5)

  Þ aabCBC   (2)                                   Þ aaabBCBCC         (5)

  Þ aabBCC   (5)     aabcBC (4)            Þ aaabBBCCC         (5)

  Þ aabbCC   (3)                                   Þ aaabbBCCC         (3)

  Þ aabbcC    (4)                                    Þ aaabbbCCC          (3)

  Þ aabbcc     (6)                                   Þ aaabbbcCC           (4)

                                                                Þ aaabbbccC             (6)

                                                                Þ aaabbbccc              (6)

Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L (G) = { abc½ n ³ 1}

Menentukan Grammar Sebuah Bahasa

1.       Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L = { a½ n ³ 1}

Jawab :

P(L) = {S ® aS½a}

2.       Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

L : himpunan bilangan bulat non negatif ganjil

Jawab :

Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil.

Vt={0,1,2,..9}

Vn ={S, G,J}

P={SàHT|JT|J; TàGT|JT|J; Hà2|4|6|8; Gà0|2|4|6|8;Jà1|3|5|7|9}

P={SàGS|JS|J;  Gà0|2|4|6|8;Jà1|3|5|7|9}

Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J)

P(L) = {S ® J½GS½JS,  G ® 0½2½4½6½8,  J ® 1½3½5½7½9}

3.                   Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

B.     L = himpunan semua identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal dengan batasan : terdiri dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8 karakter

Jawab :

Langkah kunci : karakter pertama identifier harus huruf.

Buat dua himpunan bilangan terpisah : huruf (H) dan angka (A)

SàHT|H;TàHT|AT|H|A; Hàa|..|z; Aà0|..|9

P(L) = {S ® H½HT, T ® AT½HT½H½A,  

H ® a½b½c½…,  A ® 0½1½2½…}

4.                   Tentukan gramar bebas konteks untuk bahasa

L(G) = {ab½n,m ³ 1, n ¹ m}

Jawab :

Langkah kunci : sulit untuk mendefinisikan L(G) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat bahwa x ¹ y berarti x > y atau x < y.

L = LÈ L,  L ={ab½n  > m ³ 1}, L = {ab½1 £ n  < m}.

P(L) = {A ® aA½aC, C ® aCb½ab}, Q(L) = {B ® Bb½Db, D® aDb½ab}

P(L) = {S® A½B, A ® aA½aC, C ® aCb½ab, B ® Bb½Db, D® aDb½ab}

5.                   Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

L = bilangan bulat non negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama.

Jawab :

Langkah kunci : Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol (N), serta bilangan ganjil (J).

P(L) = {S ® N½GA½JA, A ® N½NA½JA, G® 2½4½6½8,  

N® 0½2½4½6½8, J ® 1½3½5½7½9}

 

Soal dan Jawaban Teori Bahasa Otomata

Soal.

1. Apa pengertian Teori Otomata ?

2. Jelaskan pengertian mesin Turing !!

3. Jelaskan pengertian :

•  Simbol,
•  Bahasa,
•         Grammar.

4. Jelaskan sedikit Teori Bahasa Automata Dalam Ilmu Komputer

5. Sebutkan dan jelaskan pengertian dari Otomata Pushdown !


Jawaban.

1. Teori Otomata adalah teori mengenai mesin-mesin abstrak, dan berkaitan erat dengan teori bahasa       formal. ada beberapa hal yang berkaitan dengan Otomata, yaitu Grammar. Grammar adalah bentuk abstrak yang dapat diterima (accept) untuk membangkitkan suatu kalimat otomata berdasarkan suatu aturan tertentu.
2. Mesin turing adalah otomata yang menjadi model computer yang kita kenal saat ini. Mesin turing memungkinkan kita untuk mempelajari decidability, yaitu pertanyaan mengenai apa yang dapat dan tidak dapat dikerjakan oleh computer. mesin ini juga memungkinkan kita menbedakan tractable problem (dapat dipecahkan dalam waktu polynomial) dari intractable problem (tidak dapat dipecahkan dalam waktu polynomial).

    3.  Jawaban:

• Simbol adalah elemen terkecil dari suatu bahasa.
• Bahasa merupakan himpunan dari sejumlah berhingga atau tidak berhingga, string-string dari sejumlah bahasa tersebut.
• Grammar adalah susunan symbol-symbol dalam string-string suatu bahasa mengikuti aturan-aturan tertentu.
  
  4.   Suatu teori hanya menarik jika dapat membantu dalam mencari solusi terbaik. Tanpa penerapan timbul pertanyaan, mengapa mempelajari teori?Teori memberikan konsep dan prinsip yang menolong untuk memahami perilaku dari suatu persoalan yang berkorelasi dengan teori tersebut. Bidang ilmu komputer meliputi topik yang luas, dari perancangan mesin sampai pemrograman. Disamping perbedaan yang ada, terdapat keseragaman prinsip-prinsip umum yang dipakai. Untuk mempelajari prinsip-prinsip dasar tersebut, kita mengkonstruksi suatu mesin otomata sebagai model abstrak dari komputer dan komputasi.

5. Otomata Pushdown adalah salah satu varian otomata dengan 7-tupel.

1.      Carilah seluruh string pada L((a|b)*b(a|ab)*) dengan panjang string kurang dari 4

Jawab :

{L((a|b)*b(a|ab)*) ,|x|= 4}

            L((a|b)*b(a|ab)*) : himpunan string yang mengandung paling sedikit satu substring ‘b’

Dengan jumlah string kurang dari 4, makamaksimaldari 3 digit

             0 digit= -

            1 digit = b

            2 digit = ab; ba

            3 digit = baa; aba; aab;

String pada L((a|b)*b(a|ab)*) = b;ab;ba;aab;aba;baa;

.

2.      Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada ∑= {a,b,c}, yaitu

a.       L(r) = { w є ∑* | w memiliki tepat sebuah simbol ‘a’ }

b.      L(r) = { w є ∑* | w mengandung tepat 3 buah simbol ‘a’}

c.       L(r) = { w є ∑* | w mengandung kemunculan masing-masing simbol minimal satu kali}

Jawab      :

a.       L(r) = { w є ∑* | w memiliki tepat sebuah simbol ‘a’ }

Jawab  :

r = a (b|c) (b|c)*

b.      L(r) = { w є ∑* | w mengandung tepat 3 buah simbol ‘a’}

Jawab  :

r = aaa (b|c) (b|c)*

c.       L(r) = { w є ∑* | w mengandung kemunculan masing masing simbol minimal satu kali}

Jawab  :

r = abc

3.      Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada S = {0,1}, yaitu

a.       L(r) ={ w є ∑* | w diakhiri dengan string 01 }

b.      L(r) ={ w є ∑ * | w tidak diakhiri dengan string 01 }

c.       L(r) ={ w є ∑ * | w mengandung simbol ‘0’ sebanyak genap }

d.      L(r) ={ w є ∑ * | kemunculan string ’00’ pada w sebanyak kelipatan 3 }

Jawab      :

a.       L(r) = { w Î∑* | w diakhiridengan string 01 }

Jawab : (0|1)*01, ekspresi regular diakhiri dengan 01

                  ER: 111101;00001;10101001;

b.      L(r) ={ w Î∑* | w tidak diakhiri dengan string 01 }

Jawab :ekspresi regular tidak di akhiri dengan string 01

                  ER: 1110; 0011; 0110;

c.       L(r) ={ w Î∑* | w mengandung simbol ‘0’ sebanyakgenap }

Jawab :ekspresi regular dengan mengandung 0 sebanyak genap, bisaada 2, 4 ,6, ….

Mengandung 0 sebanyak 2, ER: 1010;

                  Mengandung 0 sebanyak 4, ER : 011000; 00001;0000;

                  Mengandung 0 sebanyak 6, ER : 001001001;

d.      L(r) ={ w Î∑* | kemunculan string ’00’ pada w sebanyak kelipatan 3 }

4.      Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada ∑ = {a,b}, yaitu L(r) = { w є ∑* | |w| mod 3 = 0 }

Jawab :

Membuat contoh ekspresi regular yang terdiri dari {a,b} dengan panjang string kelipatan 3, karna |w| mod 3 = 0.

Maka, denganpanjang string 3 = ER: aba; aab; bba; bab;….

Jika dengan panjang string 6= ER; aabbab; babbaa; abbaab;……

Jika dengan panjang string 9= ER: aababaaab; babbaabba;…..

Dan seterusnya ,…

Latihan 3.2

Buktikan kesamaan ekspresi regular berikut :

1.      (a*| b)* = (a | b)*

Jawab :

(a|b)*  = {ε, "a", "b", "aa", "ab", "ba", "bb", "aaa", ...}

Dengan diketahui a*= ε| a| aa| aaa| aaaa| …..,

Sedangkan b* = ε|b|bb|bbb|bbbb|…

Jadi(a|b)*  yang merupakan gabungan concate dari a* dan b* maka

(a|b)*  =(ε | a| b| aa| ab| ba| bb | aaa| ...)

Dengan diketahui: a*= ε| a| aa| aaa| aaaa| …..,

Maka(a*|b)*    = (ε| a| aa| aaa| aaaa| …..|b)*

                        = (ε| a|b | aa|bb | aaa|bbb | aaaa| bbbb …..)

Maka terbukti, (a*|b)* = (a|b)*

2.      (a | b*)* = (a | b)*

Jawab :

Diketahui (a|b)*          = ε| a| b| aa| bb| aaa| bbb| ab| abb| aab| ba ....

            Dengan b* = ε| b| bb| bbb| bbbb| …..

(a|b*)= (a| ε| b| bb| bbb| bbbb| …..)

Maka (a|b*)*   = (a| ε| b| bb| bbb| bbbb| …..)*

= ε| a| b| aa| bb| aaa| bbb| ab| abb| aab| ba ....

Maka terbukti, (a|b*)* = (a|b)*

3.      (a* b)* a* = a* (b a*)*

Jawab : Dengan a* = ε| a| aa| aaa| aaaa| …..

·         (a b)*=  (eï(ab)ï(abab)ï…) 

            maka (a* b)     = (ε b| ab| aab| aaab| aaaab| …..,)

                        = (b| ab| aab| aaab| aaaab|...)

            (a* b)* = (b| ab| aab| aaab| aaaab|...)*

                        = (eïa|b | abïaabï…) 

(a* b)* a*        =(eïa|b | abïaabï…)   a*

                        = (eïa|b | abïaabï…)  (ε| a| aa| aaa| aaaa| …..)

                        = (e | a | b | aa | aaa | ab | aab | …)

·         (b a)*=  (eï(ba)ï(baba)ï…) 

Maka (b a*)*   = (eï(ba)ï(baba)ï…)  *

                                    =  (eïb | a | ba ïbaaï…) 

a* (b a*)*        = a*  (eïa|b | abïaabï…)  

            =  (ε| a| aa| aaa| aaaa| …..) (eïb | a | ba ïbaaï…) 

            = (e | a | b | aa | aaa | ab | aab | …)

4. (a a*) ( є | a) = a*

Jawab  :

Dengan diketahui a* = ε| a| aa| aaa| aaaa| …..,

Dan (a a*)       = a(ε| a| aa| aaa| aaaa| …..) (ԑ|a)

                                    = (ε a| aa| aaa|aaaa|…) (ԑ|a)

                                    = (a|aa|aaa|aaaa|…) (ԑ|a)

= (ε| a| aa| aaa| aaaa| …..) =>a*

Maka terbukti, (a a*) (ԑ|a) = a*